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Investigación pionera de matemáticos polacos sobre la simetría de todas las simetrías

Los matemáticos polacos lograron resolver un problema importante con respecto a la Simetría de todas las simetrías resolver. Este fue un problema sin resolver durante varias décadas, uno de los mayores desafíos de la teoría geométrica de grupos.

Los resultados del Dr. Marek Kaluba (Universidad Adam Mickiewicz e Instituto de Tecnología de Karlsruhe), Prof. Dawid Kielak (Universidad de Oxford) y Prof. Piotr Nowak (Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias de Polonia) fueron publicados en una de las revistas matemáticas más reconocidas Anales de Matemáticas veröffentlicht.

Fuente de la imagen: Pixabay

Hemos resuelto un problema abierto desde hace mucho tiempo al mostrar que una familia infinita particular de objetos algebraicos - grupos - tiene la propiedad T y, por tanto, es muy incompatible con la Geometría euclidiana es ", resume Nowak.

Y el dr. Marek Kaluba agrega: Gracias a nuestra investigación, hemos entendido ciertos aspectos geométricos de los grupos que codifican simetrías.
Los objetos con el Propiedad Tque examinamos tienen propiedades geométricas muy exóticas (no se pueden llamar Simetrías en el Geometría euclidiana se realizará). ¿Parece esto desconectado de la realidad? En la superficie, sí. Pero el conocimiento de esta complicada propiedad de T ya ha encontrado aplicación. Permite, por ejemplo, la construcción de expansores: gráficos con un gran número de conexiones, que se utilizan en Algoritmos de transmisión ser usado. Y tal algoritmos son, entre otras cosas, para la exhibición de Tendencias en Twitter responsable.

La cuestión de si los grupos que estudiamos tienen tal propiedad T apareció impresa en la década de 90. Cuando era estudiante de doctorado, ese era un problema con el que me encontraba en todas las demás conferencias y conferencias. Teoría de grupos escuchado - resume Piotr Nowak.
Y Dawid Kielak agrega: Nuestro resultado explica cómo funciona cierto algoritmo. Es el algoritmo de reemplazo de producto que se utiliza cuando desea extraer elementos de un conjunto grande, p. Ej. B. un conjunto con más elementos que la cantidad de partículas en el universo. Éste algoritmo Ha existido desde la década de 1990 y funciona mucho mejor de lo esperado. Nuestro artículo explica por qué funciona tan bien, dice el profesor Kielak.

Y agrega: La informática es nueva Física. Lo que nos rodea no son solo partículas, sino cada vez más también algoritmos. Nuestro trabajo como matemáticos será comprender los algoritmos, mostrar por qué funcionan o no; por qué son rápidos o lentos Los científicos se han basado en cálculos informáticos para su demostración matemática. El uso de computadoras para probar teoremas en matemáticas no se ha considerado previamente particularmente elegante. La comunidad de matemático teórico sobre todo arrugó la nariz ante las computadoras. Pero aquí este enfoque moderno funcionó extremadamente bien.

La computadora solo hizo la tarea. Pero no ha reemplazado a la lógica. Nuestra idea era aplicar la reducción de un problema infinito a un problema finito, dice el profesor Kielak. Y el Dr. Marek Kaluba agrega: Tenemos nuestro problema en uno Problema de optimizacion reducido y luego por esto Optimización Herramientas estándar utilizadas: algoritmos que utilizan los ingenieros para diseñar componentes.

Así que a la computadora se le encomendó la tarea de encontrar una matriz que cumpliera con ciertos criterios. La máquina creó una solución, verificó qué tan bien cumplía con las condiciones dadas y gradualmente mejoró esta matriz para lograr la tasa de error más baja posible. La única pregunta era qué tan pequeño es el margen de error que puede lograr; resultó que el error de la computadora en la última aproximación fue muy, muy pequeño. Así que el cálculo de la computadora lo hizo posible, con los correctos. argumentos matemáticos - Obtenga evidencia rigurosa.

El creado por la computadora La matriz tenía 4,5 mil columnas y 4,5 mil filas. Marek Kaluba explica que el problema en el que estaban trabajando era inicialmente demasiado grande para ser resuelto por ellos mismos con una supercomputadora. Entonces usamos las simetrías internas de este problema para facilitar la búsqueda de una solución, dice. Y explica que un enfoque análogo también se puede utilizar para resolver otros problemas en el campo de la optimización de objetos por métodos geométricos. Simetrías Están marcados. Estas simetrías (en forma algebraica) también serán observables en el problema de optimización y pueden usarse para Reducción de la complejidad se puede utilizar - dice el Dr. Kaluba. Y agrega: Aunque nos ocupamos de las matemáticas abstractas, queremos que nuestro software también sea útil en aplicaciones técnicas.